יחס הזהב, משולשי זהב, משולש 30 60 90 ומחומש משוכלל

בישראל, נהוג לכנות משולש 30 60 90, משולש זהב. כפי שנראה בהמשך עמוד זה, אין שום קשר בין יחס הזהב למשולש זה. יחס הזהב (אשר יתואר כאן בהמשך), הוא אשר מעניק למלבן הזהב, משולש הזהב, חיתוך הזהב וכו׳ את שמותיהם. היות ואין שום קשר בין משולש 30 60 90 ליחס הזהב, אני מערער על הכינוי שלו כמשולש זהב.

משולש 30 60 90

במשולש ישר זווית שבו הזוויות החדות שוות ל 30° ו 60°, הניצב הקצר (העומד מול הזווית של 30°) שווה באורכו למחצית היתר, ואילו הניצב הארוך (העומד מול הזווית של 60°) ארוך פי √3 מהניצב הקצר. את היחס בין אורכי הצלעות של משולש זה, ניתן לבטא כ: 1:√3:2.

במשולש המשורטט להלן, אורך הניצב הארוך הוא 3 ס"מ, אורך הניצב הקצר הוא √3 ס"מ, ואילו אורך היתר הוא √12 ס"מ (2 × √3 = √12).

יחס הזהב

יחס הזהב הוא למעשה, פרופורציה אשר נמצאת במקומות רבים בטבע, באומנות הפלסטית ובאדריכלות. את המתמטיקה, מעסיק יחס הזהב, החל מימי יוון העתיקה ועד ימינו. אוקלידס תיאר את יחס הזהב בספרו 'יסודות' , אשר מהווה, הלכה למעשה, את היסוד לגיאומטריה האוקלידית המשמשת אותנו גם ביום־יום. יחס הזהב הוא הפתרון החיובי של המשוואה הריבועית x²=x+1. בדרך־כלל, מסומן יחס הזהב באות הקירילית ф, וביטויו כיחס יכול להירשם כך: 1+√5:2. כמו הקבוע המתמטי 𝛑 גם הקבוע המתמטי המתקבל מחילוק יחס הזהב, הוא מספר אי רציונלי שלא ניתן לבטא כשבר עשרוני מדויק. בשרטוט שלהלן מובא מלבן שבו היחס בין הרוחב לאורך הוא יחס הזהב

משולשי זהב

משולשי זהב הם משולשים שווי שוקיים שבהם היחס בין השוקיים לבסיס או היחס בין הבסיס לשוקיים, הוא יחס הזהב.

משולש זהב צר

משולש שזוויותיו הן 36°, 72°, 72°, הוא משולש זהב צר. היחס שבין אורך בסיסו, לאורך כל אחת משוקיוו, הוא יחס הזהב. היחס בין זוויותיו של משולש זה הוא: 1:2:2.

משולש זהב רחב

משולש שזוויותיו הן 36°, 36°, 108°, הוא משולש זהב רחב. היחס שבין אורך כל אחת משוקיו, לאורך בסיסו, הוא יחס הזהב. היחס בין זוויותיו של משולש זה הוא: 1:1:3.

מחומש משוכלל

במחומש משוכלל (שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות זו לזו), שהועברו בו אלכסוניו, כל שתי צלעות סמוכות, יוצרות יחד עם האלכסון שביניהן, משולש זהב רחב, ואילו כל שני אלכסונים, היוצאים מאותו קודקוד, יוצרים יחד עם הצלע שביניהם, משולש זהב צר. בין כל שני משולשי זהב רחבים, ישנו משולש זהב צר. שטח המחומש שווה לשטח שני משולשי זהב רחבים ועוד שטח משולש זהב צר. האלכסונים יוצרים, במרכז המחומש, מחומש משוכלל קטן יותר. כל צלע, יוצרת, יחד עם קטעי האלכסונים היוצאים מקודקודי הצלע ונפגשים בקודקוד המחומש הקטן, משולש זהב רחב, ואילו כל שני אלכסונים, היוצאים מקודקוד משותף, יוצרים, יחד עם הצלע של המחומש הקטן, שמול הקודקוד המשותף, משולש זהב צר. סך־הכל, יש בתוך המחומש המשוכלל, עשרה משולשי זהב רחבים ועוד עשרה משולשי זהב צרים.

בניית מחומש משוכלל ממשולשי זהב

אם ניקח משולש זהב צר, ונוסף, לצד כל אחת משוקיו, משולש זהב רחב, שאותה השוק, היא. בסיסו, נוכל כך לבנות מחומש משוכלל...